为什么 VCO/NCO 能看成带增益的积分环节

物理上，控制端并不是直接去“拨动相位”，而是改变振荡的瞬时频率或角频率，也就是改变相位增长的快慢。相位本身是频率对时间的累计量，所以只要控制量先影响频率，输出相位就天然会表现为对控制量的积分。

数学上，在线性工作区可把 VCO 写成“频率偏差与控制量成正比”的形式。若以角频率表示，则有 \( \omega_o(t)=\omega_0+K_0u(t) \)，于是相位偏差满足 \( \dfrac{d\tilde{\theta}(t)}{dt}=K_0u(t) \)，拉普拉斯域自然得到 \( \tilde{\Theta}(s)/U(s)=K_0/s \)。教材里的式 (4.110) 到式 (4.112) 本质上就是这件事；若把 f 写成 Hz 而不是角频率，则严格地说应有 \( \dot{\theta}=2\pi f \)，这里只是把 \(2\pi\) 吸收到增益 k 里。

从控制系统的角度看，这说明 VCO/NCO 自己就提供了一阶状态累加，所以在讨论 PLL 阶数时，不能只盯环路滤波器，VCO/NCO 这一阶积分必须一起算进去。

对数字接收机中的 NCO 而言，这个结论更直观：频率控制字先决定“每个采样点要加多少相位”，相位累加器再逐拍累加，因此离散实现本质上就是积分器；连续时间分析里常写成 k/s，离散时间里则对应相位累加器。

把这句话拆开看，可以按下面四步理解。第一步，NCO 真正受控的并不是“这一拍的相位值”，而是“这一拍应增加多少相位”。若环路滤波器输出控制量 u[n]，常见写法是 \(\Delta\theta[n]=K_nu[n]\)；若用角频率来写，也可写成 \(\Delta\theta[n]=\omega[n]T_s\)。这说明频率控制字本质上决定的是每拍的相位增量，也就是相位增长速度。

第二步，相位累加器执行的是 \(\theta[n]=\theta[n-1]+\Delta\theta[n]\)。不断展开后，就有 \(\theta[n]=\theta[0]+\sum_{m=1}^{n}\Delta\theta[m]=\theta[0]+\sum_{m=1}^{n}K_nu[m]\)。所以输出相位就是对历史控制量做离散求和，这正是离散时间里的积分。

第三步，如果控制量是常数 u[n]=U_0，那么每拍相位增量也是常数 \(\Delta\theta[n]=K_nU_0\)，于是 \(\theta[n]=\theta[0]+nK_nU_0\)。输出相位会随采样序号线性增长，形成斜坡响应；这和连续积分器对常值输入产生线性斜坡是完全一样的。所以给 NCO 一个恒定控制量，改变的是相位前进的速度，而不是让相位立刻跳到某个固定值。

第四步，从 z 域看更清楚。由 \(\theta[n]=\theta[n-1]+K_nu[n]\) 做 z 变换，得到 \(\Theta(z)=z^{-1}\Theta(z)+K_nU(z)\)，整理后有 \(\Theta(z)/U(z)=K_n/(1-z^{-1})\)。其中 \(1/(1-z^{-1})\) 就是标准离散积分器。若只关心环路低频特性，用 \(z=e^{sT_s}\) 并取近似 \(1-z^{-1}=1-e^{-sT_s}\approx sT_s\)，就得到 \(\Theta/U\approx K_n/(sT_s)=(K_n/T_s)/s\)；把 \(1/T_s\) 吸收到增益定义里，就正好对应连续域的 k/s。

所以，连续时间里说“VCO 是积分器”，离散时间里说“NCO 有相位累加器”，本质上是在说同一件事：控制量先决定频率或相位增量，输出相位则是对这些增量随时间的累计。

式 (4.110)

VCO 的基本定义就是“控制量决定输出角频率”，因此直接建模为

\[ f_{\mathrm{vco}}(t)=ku(t) \]

这里 k 是压控增益；若把输出写成角频率，它的量纲可看成“角频率每伏特”；若把输出写成普通频率，则和 2\pi 有关的换算通常并入 k。

式 (4.111)

角频率是相位对时间的一阶导数，即

\[ f_{\mathrm{vco}}(t)=\frac{d\theta_{\mathrm{vco}}(t)}{dt} \]

两边从 0 到 t 积分，得到

\[ \theta_{\mathrm{vco}}(t)-\theta_{\mathrm{vco}}(0)=\int_0^t f_{\mathrm{vco}}(\tau)\,d\tau \]

若把初始相位并入参考相位，取 \theta_{\mathrm{vco}}(0)=0，就得到

\[ \theta_{\mathrm{vco}}(t)=\int_0^t f_{\mathrm{vco}}(\tau)\,d\tau \]

式 (4.112)

对式 (4.111) 做拉普拉斯变换：

\[ \Theta_{\mathrm{vco}}(s)=\frac{1}{s}F_{\mathrm{vco}}(s) \]

再由式 (4.110) 有

\[ F_{\mathrm{vco}}(s)=kU(s) \]

所以

\[ \Theta_{\mathrm{vco}}(s)=\frac{k}{s}U(s) \]

这一步说明：VCO 在相位环里天然带有一个 1/s 积分器。

为什么这里一定会出现 k/s

1. 从物理特性看，振荡器真正可控的是瞬时频率，而不是相位本身。给它一个恒定控制量，最直接的效果是让“相位变化速度”发生偏置，于是相位会持续线性增长，而不是立刻跳到某个新值。
2. 从状态方程看，若写成 \omega_o(t)=\omega_0+K_0u(t)，再把稳态载频 \omega_0 从相位里分离出去，得到相位偏差 \tilde{\theta}(t)，就有 \dfrac{d\tilde{\theta}(t)}{dt}=K_0u(t)。因此 VCO 的核心状态不是“相位跟输入成比例”，而是“相位导数跟输入成比例”，这正是积分环节的定义。
3. 从数字实现看，NCO 常写成 \theta[n]=\theta[n-1]+K_nu[n]。这个公式本身就是一个相位累加器，所以在 z 域里对应 1/(1-z^{-1}) 型环节；当采样周期足够小、只关心环路低频特性时，它和连续域里的 1/s 是同一类动力学。
4. 从环路设计看，正因为 VCO/NCO 内含一个积分器，PLL 才能够把“频率误差”进一步累积成“相位校正”。也因此同样的滤波器放在不同被控对象前面，环路阶数和稳态误差类型会不同。
5. 当然，这个模型本质上是锁定点附近的小信号线性化。它忽略了振幅变化、调谐曲线非线性、饱和、捕获过程以及器件相位噪声等细节；但对分析 H(s)、E(s)、噪声带宽和稳定性来说，k/s 是最有效也最常用的主模型。

因此，把 VCO 看成 k/s 并不是为了计算方便而硬凑出来的，而是由“控制的是频率、相位是频率的积分、锁定点附近可以线性化”这三件事共同决定的。

式 (4.113)

鉴相器先给出相位差

\[ \hat{\theta}(s)=\theta_i(s)-\theta_l(s) \]

这个误差再经过环路滤波器 F(s)，于是滤波器输出为

\[ v_o(s)=\hat{\theta}(s)F(s)=\left[\theta_i(s)-\theta_l(s)\right]F(s) \]

式 (4.114)

VCO 的输入正是 v_o(s)。把式 (4.113) 代入式 (4.112)：

\[ \theta_l(s)=\frac{k}{s}v_o(s) =\frac{k}{s}\left[\theta_i(s)-\theta_l(s)\right]F(s) \]

于是得到式 (4.114)。

式 (4.115)

从式 (4.114) 出发：

\[ \theta_l(s)=\frac{kF(s)}{s}\theta_i(s)-\frac{kF(s)}{s}\theta_l(s) \]

把含 \theta_l(s) 的项移到左侧：

\[ \theta_l(s)+\frac{kF(s)}{s}\theta_l(s)=\frac{kF(s)}{s}\theta_i(s) \]

提取公因子：

\[ \theta_l(s)\left(1+\frac{kF(s)}{s}\right)=\frac{kF(s)}{s}\theta_i(s) \]

即

\[ \theta_l(s)\frac{s+kF(s)}{s}=\frac{kF(s)}{s}\theta_i(s) \]

约去两边的 1/s 后得到

\[ \theta_l(s)=\frac{kF(s)}{s+kF(s)}\theta_i(s) \]

式 (4.116)

由定义

\[ \hat{\theta}(s)=\theta_i(s)-\theta_l(s) \]

代入式 (4.115)：

\[ \hat{\theta}(s)=\theta_i(s)-\frac{kF(s)}{s+kF(s)}\theta_i(s) \]

通分得

\[ \hat{\theta}(s)=\left(1-\frac{kF(s)}{s+kF(s)}\right)\theta_i(s) =\frac{s}{s+kF(s)}\theta_i(s) \]

式 (4.117)

闭环传递函数定义为输出相位与输入相位之比：

\[ H(s)=\frac{\theta_l(s)}{\theta_i(s)} \]

代入式 (4.115)，直接得到

\[ H(s)=\frac{kF(s)}{s+kF(s)} \]

式 (4.118)

误差传递函数定义为相位误差与输入相位之比：

\[ E(s)=\frac{\hat{\theta}(s)}{\theta_i(s)} \]

代入式 (4.116)，得到

\[ E(s)=\frac{s}{s+kF(s)} \]

式 (4.119)

由式 (4.117) 与式 (4.118) 直接相加：

\[ H(s)+E(s)=\frac{kF(s)}{s+kF(s)}+\frac{s}{s+kF(s)}=1 \]

所以

\[ E(s)=1-H(s) \]

这说明闭环对输入相位的响应可以分成“被跟踪的部分”和“剩余误差的部分”。

怎么理解这里的“互补”

1. 最根本的一步来自误差定义本身：\(\hat{\theta}(s)=\theta_i(s)-\theta_l(s)\)。移项后就是 \(\theta_i(s)=\theta_l(s)+\hat{\theta}(s)\)，也就是“输入相位 = 被本地载波复制出来的部分 + 没来得及跟上的残余误差部分”。
2. 再把 \(\theta_l(s)=H(s)\theta_i(s)\) 和 \(\hat{\theta}(s)=E(s)\theta_i(s)\) 代进去，就得到 \(\theta_i(s)=H(s)\theta_i(s)+E(s)\theta_i(s)\)，因此自然有 \(H(s)+E(s)=1\)。
3. 所以“互补”更像是对同一个输入相位的分流关系：某个频段上如果大部分被 H(s) 跟踪走了，那么同频段留给 E(s) 的就会很少；反过来也一样。
4. 但它是复传递函数之间的关系，不该直接理解成 \(|E|=1-|H|\)，也不必然意味着 \(|H|^2+|E|^2=1\)。工程上更安全的理解是“输出支路和误差支路对同一输入相位的互补分配”。

式 (4.117) 到式 (4.119) 的工程意义

1. H(s) 是从输入相位 \theta_i(s) 到本地相位 \theta_l(s) 的闭环传递函数。它回答的问题是：“输入相位变化里，最后有多少真正被本地载波复制出来了？”因此分析输出响应、跟踪速度、闭环带宽和输出噪声时，核心都要看 H(s)。
2. E(s) 是从输入相位 \theta_i(s) 到相位误差 \hat{\theta}(s) 的误差传递函数。它回答的问题是：“输入相位变化里，还有多少没被环路跟上，而是留在误差里？”因此分析稳态误差、动态应力误差、不同阶数环路能否无偏跟踪某类输入时，核心都要看 E(s)。
3. E(s)=1-H(s) 表明这两个通道是互补的。若某个频段上 H(s) 很接近 1，说明那一段相位变化基本都被跟踪了，于是同一频段上的 E(s) 就会很小；反过来，如果某个频段上 H(s) 很小，则该频段的输入变化大多会留在误差支路里。
4. 所以从频域直觉上说，PLL 常常表现为：H(s) 对慢变相位分量近似低通，E(s) 对未被跟踪的快变分量近似互补高通。也正因为如此，教材后面定义噪声带宽时用的是 |H(j2\pi f)|^2，而分析稳态相差时用的是 E(s)。

式 (4.120)

若输入是白噪声，系统输出噪声功率等于功率谱密度乘以传递函数幅频响应平方后再积分，因此自然定义

\[ B_n=\int_0^\infty \left|H(j2\pi f)\right|^2\,df \]

这样当输入单边噪声谱密度为 N_0 时，就有

\[ P_{N0}=N_0\int_0^\infty \left|H(j2\pi f)\right|^2\,df=N_0B_n \]

式 (4.121)

对任意 n 阶闭环系统，分子至多是 n-1 阶，分母是 n 阶，因此写成

\[ H(s)=\frac{a_0+a_1s+a_2s^2+\cdots+a_{n-1}s^{n-1}}{b_0+b_1s+b_2s^2+\cdots+b_ns^n} \]

这个写法的作用是为不同阶数环路统一代入表 4.1 的 B_n 公式。

式 (4.122)

若输入在 s 域中表示为 u(s)，则输出为

\[ \theta_l(s)=H(s)u(s) \]

反拉普拉斯变换可得时域响应

\[ \theta_l(t)=\mathcal{L}^{-1}[H(s)u(s)] \]

它描述的是环路的暂态过程。

式 (4.123)

稳态误差由终值定理给出：

\[ \hat{\theta}_{e,\infty}=\lim_{t\to\infty}\hat{\theta}(t)=\lim_{s\to0}s\hat{\Theta}(s) \]

而

\[ \hat{\Theta}(s)=E(s)u(s) \]

所以

\[ \hat{\theta}_{e,\infty}=\lim_{s\to0}sE(s)u(s) \]

后面 1 阶、2 阶、3 阶的稳态误差全部都是这一式的直接应用。

闭环函数

1 阶环有 F(s)=1，代入式 (4.117) 与式 (4.118)：

\[ H(s)=\frac{k}{s+k},\qquad E(s)=\frac{s}{s+k} \]

式 (4.124)

对照表 4.1 的 1 阶模板

\[ H(s)=\frac{a_0}{b_0+b_1s} \]

可识别出

\[ a_0=k,\qquad b_0=k,\qquad b_1=1 \]

代入

\[ B_n=\frac{a_0^2}{4b_0b_1} \]

得

\[ B_n=\frac{k^2}{4k\cdot1}=\frac{k}{4} \]

相位阶跃输入

输入为

\[ \theta_i(t)=\theta_0u(t),\qquad \theta_i(s)=\frac{\theta_0}{s} \]

代入终值定理：

\[ \hat{\theta}_{e,\infty} =\lim_{s\to0}sE(s)\theta_i(s) =\lim_{s\to0}s\cdot\frac{s}{s+k}\cdot\frac{\theta_0}{s} =\lim_{s\to0}\frac{\theta_0s}{s+k}=0 \]

式 (4.125)：频率阶跃输入

输入为

\[ \theta_i(t)=\Delta\omega t\,u(t),\qquad \theta_i(s)=\frac{\Delta\omega}{s^2} \]

代入终值定理：

\[ \hat{\theta}_{e,\infty} =\lim_{s\to0}s\cdot\frac{s}{s+k}\cdot\frac{\Delta\omega}{s^2} =\lim_{s\to0}\frac{\Delta\omega}{s+k} =\frac{\Delta\omega}{k} \]

式 (4.126)：频率斜升输入

输入为

\[ \theta_i(t)=\frac{1}{2}\alpha t^2,\qquad \theta_i(s)=\frac{\alpha}{s^3} \]

代入终值定理：

\[ \hat{\theta}_{e,\infty} =\lim_{s\to0}s\cdot\frac{s}{s+k}\cdot\frac{\alpha}{s^3} =\lim_{s\to0}\frac{\alpha}{s(s+k)} =\infty \]

也就是说 1 阶环对二次增长的相位输入无法保持锁定。

二阶闭环函数

对有源比例积分器

\[ F(s)=\frac{1+s\tau_1}{s\tau_2} \]

代入式 (4.117)：

\[ H(s)=\frac{k\dfrac{1+s\tau_1}{s\tau_2}}{s+k\dfrac{1+s\tau_1}{s\tau_2}} \]

上下同乘 s\tau_2，得到

\[ H(s)=\frac{k(1+s\tau_1)}{s^2\tau_2+k(1+s\tau_1)} \]

按 s 次幂展开：

\[ H(s)=\frac{k\tau_1s+k}{\tau_2s^2+k\tau_1s+k} \]

再同除以 \tau_2：

\[ H(s)=\frac{\dfrac{k\tau_1}{\tau_2}s+\dfrac{k}{\tau_2}}{s^2+\dfrac{k\tau_1}{\tau_2}s+\dfrac{k}{\tau_2}} \]

误差函数由 E(s)=1-H(s) 或直接代入式 (4.118) 可得

\[ E(s)=\frac{s^2}{s^2+\dfrac{k\tau_1}{\tau_2}s+\dfrac{k}{\tau_2}} \]

式 (4.127) 与式 (4.128)

把分母归一化成标准二阶形式

\[ s^2+\frac{k\tau_1}{\tau_2}s+\frac{k}{\tau_2}\triangleq s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2 \]

逐项对比系数：

\[ \omega_n^2=\frac{k}{\tau_2} \quad\Rightarrow\quad \omega_n=\sqrt{\frac{k}{\tau_2}} \]

\[ 2\zeta\omega_n=\frac{k\tau_1}{\tau_2} \]

再用 \omega_n^2=\dfrac{k}{\tau_2} 替换，有

\[ 2\zeta\omega_n=\omega_n^2\tau_1 \quad\Rightarrow\quad \zeta=\frac{1}{2}\omega_n\tau_1 \]

式 (4.129)

由标准化后的系数

\[ a_1=2\zeta\omega_n,\qquad a_0=\omega_n^2 \]

\[ b_2=1,\qquad b_1=2\zeta\omega_n,\qquad b_0=\omega_n^2 \]

代入表 4.1 的 2 阶带宽公式

\[ B_n=\frac{a_0^2b_2+a_1^2b_0}{4b_0b_1b_2} \]

得到

\[ B_n=\frac{\omega_n^4\cdot1+(2\zeta\omega_n)^2\omega_n^2}{4\cdot\omega_n^2\cdot2\zeta\omega_n\cdot1} \]

化简分子：

\[ \omega_n^4+4\zeta^2\omega_n^4=\omega_n^4(1+4\zeta^2) \]

化简分母：

\[ 8\zeta\omega_n^3 \]

所以

\[ B_n=\frac{\omega_n(1+4\zeta^2)}{8\zeta} =\frac{\omega_n}{8}\left(4\zeta+\frac{1}{\zeta}\right) \]

式 (4.130)：相位阶跃

\[ \theta_i(s)=\frac{\theta_0}{s} \]

代入 E(s)：

\[ \hat{\theta}_{e,\infty} =\lim_{s\to0}s\cdot\frac{s^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\cdot\frac{\theta_0}{s} =\lim_{s\to0}\frac{\theta_0s^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2} =0 \]

式 (4.131)：频率阶跃

\[ \theta_i(s)=\frac{\Delta\omega}{s^2} \]

则

\[ \hat{\theta}_{e,\infty} =\lim_{s\to0}s\cdot\frac{s^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\cdot\frac{\Delta\omega}{s^2} =\lim_{s\to0}\frac{\Delta\omega s}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2} =0 \]

式 (4.132)：频率斜升

\[ \theta_i(s)=\frac{\alpha}{s^3} \]

则

\[ \hat{\theta}_{e,\infty} =\lim_{s\to0}s\cdot\frac{s^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\cdot\frac{\alpha}{s^3} =\lim_{s\to0}\frac{\alpha}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2} =\frac{\alpha}{\omega_n^2} \]

所以 2 阶环对频率斜升仍保留有限稳态误差。

三阶闭环函数

由

\[ F(s)=\tau_1+\frac{\tau_2}{s}+\frac{\tau_3}{s^2} \]

代入式 (4.117)：

\[ H(s)=\frac{kF(s)}{s+kF(s)} \]

上下同乘 s^2，得到

\[ H(s)=\frac{k(\tau_1s^2+\tau_2s+\tau_3)}{s^3+k(\tau_1s^2+\tau_2s+\tau_3)} \]

即

\[ H(s)=\frac{k\tau_1s^2+k\tau_2s+k\tau_3}{s^3+k\tau_1s^2+k\tau_2s+k\tau_3} \]

同理

\[ E(s)=\frac{s^3}{s^3+k\tau_1s^2+k\tau_2s+k\tau_3} \]

式 (4.133)

按表 4.1 识别系数：

\[ a_2=k\tau_1,\quad a_1=k\tau_2,\quad a_0=k\tau_3 \]

\[ b_3=1,\quad b_2=k\tau_1,\quad b_1=k\tau_2,\quad b_0=k\tau_3 \]

代入 3 阶带宽公式：

\[ B_n= \frac{a_2^2b_0b_1+(a_1^2-2a_0a_2)b_0b_3+a_0^2b_2b_3}{4b_0b_3(b_1b_2-b_0b_3)} \]

先化分子：

\[ a_2^2b_0b_1=(k\tau_1)^2(k\tau_3)(k\tau_2)=k^4\tau_1^2\tau_2\tau_3 \]

\[ (a_1^2-2a_0a_2)b_0b_3=(k^2\tau_2^2-2k^2\tau_1\tau_3)(k\tau_3) \]

\[ a_0^2b_2b_3=(k\tau_3)^2(k\tau_1)=k^3\tau_1\tau_3^2 \]

把三项合并：

\[ \text{分子}=k^3\tau_3(k\tau_1^2\tau_2+\tau_2^2-\tau_1\tau_3) \]

再化分母：

\[ 4b_0b_3(b_1b_2-b_0b_3) =4(k\tau_3)\left[(k\tau_2)(k\tau_1)-k\tau_3\right] \]

\[ =4k\tau_3(k\tau_1\tau_2-\tau_3) \]

所以

\[ B_n=\frac{k^2(k\tau_1^2\tau_2+\tau_2^2-\tau_1\tau_3)}{4(k\tau_1\tau_2-\tau_3)} \]

把分子拆成两项：

\[ k\tau_1(k\tau_1\tau_2-\tau_3)+k\tau_2^2 \]

于是

\[ B_n=\frac{k\tau_1}{4}+\frac{k\tau_2^2}{4(k\tau_1\tau_2-\tau_3)} \]

式 (4.134)、(4.135)、(4.136)

三种输入统一代入

\[ E(s)=\frac{s^3}{s^3+k\tau_1s^2+k\tau_2s+k\tau_3} \]

1. 相位阶跃： \[ \hat{\theta}_{e,\infty} =\lim_{s\to0}s\cdot\frac{s^3}{D(s)}\cdot\frac{\theta_0}{s} =\lim_{s\to0}\frac{\theta_0s^3}{D(s)}=0 \]

2. 频率阶跃： \[ \hat{\theta}_{e,\infty} =\lim_{s\to0}s\cdot\frac{s^3}{D(s)}\cdot\frac{\Delta\omega}{s^2} =\lim_{s\to0}\frac{\Delta\omega s^2}{D(s)}=0 \]

3. 频率斜升： \[ \hat{\theta}_{e,\infty} =\lim_{s\to0}s\cdot\frac{s^3}{D(s)}\cdot\frac{\alpha}{s^3} =\lim_{s\to0}\frac{\alpha s}{D(s)}=0 \]

其中

\[ D(s)=s^3+k\tau_1s^2+k\tau_2s+k\tau_3 \]

因此 3 阶环可以无偏跟踪频率斜升输入。

式 (4.137)：稳定性条件

3 阶闭环的特征多项式为

\[ s^3+k\tau_1s^2+k\tau_2s+k\tau_3 \]

对三阶多项式

\[ s^3+a_1s^2+a_2s+a_3 \]

劳斯-赫尔维茨稳定判据要求

\[ a_1>0,\quad a_2>0,\quad a_3>0,\quad a_1a_2>a_3 \]

代回本题参数便得到

\[ k\tau_1>0,\quad k\tau_2>0,\quad k\tau_3>0,\quad k\tau_1\cdot k\tau_2>k\tau_3 \]

式 (4.138)

若 N 阶滤波器写成

\[ F(s)=a_0+\frac{a_1}{s}+\cdots+\frac{a_{N-1}}{s^{N-1}} \]

代入式 (4.117)：

\[ H(s)=\frac{kF(s)}{s+kF(s)} \]

把 k 吸收到系数定义里，并上下同乘 s^{N-1}，得到

\[ H(s)=\frac{a_0s^{N-1}+a_1s^{N-2}+\cdots+a_{N-1}}{s^N+a_0s^{N-1}+a_1s^{N-2}+\cdots+a_{N-1}} \]

式 (4.139)

由 E(s)=1-H(s)：

\[ E(s)=1-\frac{a_0s^{N-1}+a_1s^{N-2}+\cdots+a_{N-1}}{s^N+a_0s^{N-1}+a_1s^{N-2}+\cdots+a_{N-1}} \]

通分后分子只剩 s^N：

\[ E(s)=\frac{s^N}{s^N+a_0s^{N-1}+a_1s^{N-2}+\cdots+a_{N-1}} \]

式 (4.140)

定义自然频率

\[ \omega_n=(a_{N-1})^{1/N} \quad\Rightarrow\quad a_{N-1}=\omega_n^N \]

稳态误差按终值定理：

\[ \hat{\theta}_{e,\infty} =\lim_{s\to0}sE(s)\theta_i(s) =\lim_{s\to0}\frac{s^{N+1}\theta_i(s)}{s^N+a_0s^{N-1}+a_1s^{N-2}+\cdots+a_{N-1}} \]

当 s\to0 时，分母中只有常数项 a_{N-1} 保留下来，因此

\[ \hat{\theta}_{e,\infty} =\lim_{s\to0}\frac{s\cdot[s^N\theta_i(s)]}{\omega_n^N} \]

又因为

\[ \mathcal{L}\left[\frac{d^N\theta_i(t)}{dt^N}\right]=s^N\theta_i(s) \]

再对 d^N\theta_i(t)/dt^N 应用终值定理，就有

\[ \lim_{s\to0}s[s^N\theta_i(s)] =\lim_{t\to\infty}\frac{d^N\theta_i(t)}{dt^N} \]

最终得到

\[ \hat{\theta}_{e,\infty} =\lim_{t\to\infty}\frac{d^N\theta_i(t)/dt^N}{\omega_n^N} \]

这个结果把“环路阶数能抵消到哪一级动态”和“自然频率越大误差越小，但噪声也越大”统一起来了。