VCO 的时域和频域模型 $$ f_{\mathrm{vco}}(t)=ku(t) \tag{4.110} $$ $$ \theta_{\mathrm{vco}}(t)=\int_0^t f_{\mathrm{vco}}(\tau)\,d\tau \tag{4.111} $$ $$ \theta_{\mathrm{vco}}(s)=\frac{k}{s}U(s) \tag{4.112} $$

频率积分得到相位，因此 VCO/NCO 在相位环里天然贡献一个 $1/s$ 积分器。

这一步也是后面所有“环路阶数 = 闭环积分器数目”的起点：哪怕滤波器里没有积分支路，VCO 本身也已经提供了 1 个积分器。

环路滤波器接收相位误差 $$ v_o(s)=\hat\theta(s)F(s)=\left[\theta_i(s)-\theta_l(s)\right]F(s) \tag{4.113} $$ $$ \theta_l(s)=\frac{k}{s}\left[\theta_i(s)-\theta_l(s)\right]F(s) \tag{4.114} $$

把滤波器输出送入 VCO，并用本地相位做负反馈，闭环方程就出现了。

式 $(4.114)$ 的结构很关键：左边是本地相位，右边是“输入相位减去本地相位”再乘上开环增益 $\dfrac{kF(s)}{s}$，这就是标准负反馈闭环。

闭环解和相位误差 $$ \theta_l(s)=\frac{kF(s)}{s+kF(s)}\theta_i(s) \tag{4.115} $$ $$ \hat\theta(s)=\frac{s}{s+kF(s)}\theta_i(s) \tag{4.116} $$ $$ H(s)=\frac{\theta_l(s)}{\theta_i(s)}=\frac{kF(s)}{s+kF(s)} \tag{4.117} $$ $$ E(s)=\frac{\hat\theta(s)}{\theta_i(s)}=\frac{s}{s+kF(s)} \tag{4.118} $$ $$ E(s)=1-H(s) \tag{4.119} $$

$H(s)$ 看“本地相位跟得上多少”，$E(s)$ 看“剩下多少相位误差”。二者互补。

从式 $(4.115)$ 到式 $(4.116)$ 的推法只有一步：直接用 $\hat\theta(s)=\theta_i(s)-\theta_l(s)$ 代回去，再把分子通分成 $s$。因此误差传递函数总会比闭环传递函数多保留一个 $s$ 因子。

由 $F(s)=1$ 得到闭环函数 $$ H(s)=\frac{k}{s+k}, \qquad E(s)=\frac{s}{s+k} $$ $$ B_n=\frac{k}{4} \tag{4.124} $$

带宽随 $k$ 线性增大：响应变快，噪声也放进来更多。

这里是把 1 阶模板 $H(s)=\dfrac{a_0}{b_0+b_1s}$ 中的 $a_0=k,b_0=k,b_1=1$ 直接代入表 4.1，立刻得到 $B_n=\dfrac{a_0^2}{4b_0b_1}=\dfrac{k}{4}$。

三种输入的稳态相差 $$ \theta_i(t)=\theta_0u(t)\Rightarrow \hat\theta_{e,\infty}=0 $$ $$ \theta_i(t)=\Delta\omega t\,u(t)\Rightarrow \hat\theta_{e,\infty}=\lim_{s\to0}sE(s)\frac{\Delta\omega}{s^2}=\frac{\Delta\omega}{k} \tag{4.125} $$ $$ \theta_i(t)=\frac{1}{2}\alpha t^2\Rightarrow \hat\theta_{e,\infty}=\lim_{s\to0}sE(s)\frac{\alpha}{s^3}=\infty \tag{4.126} $$

终值定理里，1 阶误差函数只带 1 个 $s$，因此只能抵消掉相位阶跃输入的 $1/s$；遇到频率阶跃的 $1/s^2$ 时会留下常值误差，遇到频率斜升的 $1/s^3$ 时误差就发散。

有源比例积分器与标准二阶分母 $$ F(s)=\frac{1+s\tau_1}{s\tau_2} $$ $$ H(s)=\frac{\frac{k\tau_1}{\tau_2}s+\frac{k}{\tau_2}}{s^2+\frac{k\tau_1}{\tau_2}s+\frac{k}{\tau_2}}, \qquad E(s)=\frac{s^2}{s^2+\frac{k\tau_1}{\tau_2}s+\frac{k}{\tau_2}} $$ $$ s^2+\frac{k\tau_1}{\tau_2}s+\frac{k}{\tau_2}\triangleq s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2 \tag{4.127} $$ $$ \omega_n=\sqrt{\frac{k}{\tau_2}},\qquad \zeta=\frac{1}{2}\omega_n\tau_1 \tag{4.128} $$

分母归一化的目的，是把电路参数 $(k,\tau_1,\tau_2)$ 改写成控制里更直观的 $(\omega_n,\zeta)$。这样一眼就能看出自然频率和阻尼是怎么影响环路的。

闭环形式与噪声带宽 $$ H(s)=\frac{2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2} $$ $$ B_n=\frac{\omega_n}{8}\left(4\zeta+\frac{1}{\zeta}\right) \tag{4.129} $$

$\zeta=0.707$ 时，$B_n\approx0.53\omega_n$。

这一步是把 $a_1=2\zeta\omega_n,a_0=\omega_n^2,b_2=1,b_1=2\zeta\omega_n,b_0=\omega_n^2$ 代进表 4.1 的 2 阶公式，化简后得到的。

三种输入的稳态相差 $$ \theta_i(t)=\theta_0u(t)\Rightarrow \hat\theta_{e,\infty}=\lim_{s\to0}\frac{\theta_0s^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}=0 \tag{4.130} $$ $$ \theta_i(t)=\Delta\omega t\,u(t)\Rightarrow \hat\theta_{e,\infty}=\lim_{s\to0}\frac{\Delta\omega s}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}=0 \tag{4.131} $$ $$ \theta_i(t)=\frac{1}{2}\alpha t^2\Rightarrow \hat\theta_{e,\infty}=\lim_{s\to0}\frac{\alpha}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}=\frac{\alpha}{\omega_n^2} \tag{4.132} $$

2 阶误差函数含有 $s^2$，所以能把相位阶跃和频率阶跃都抵消掉；但对频率斜升只够抵消到常值，最终剩下 $\alpha/\omega_n^2$。

3 阶环路滤波器 $$ F(s)=\tau_1+\frac{\tau_2}{s}+\frac{\tau_3}{s^2} $$ $$ H(s)=\frac{k\tau_1s^2+k\tau_2s+k\tau_3}{s^3+k\tau_1s^2+k\tau_2s+k\tau_3}, \qquad E(s)=\frac{s^3}{s^3+k\tau_1s^2+k\tau_2s+k\tau_3} $$

3 阶环等效噪声带宽 $$ B_n=\frac{k\tau_1}{4}+\frac{k\tau_2^2}{4(k\tau_1\tau_2-\tau_3)} \tag{4.133} $$

这一步是把 $a_2=k\tau_1,a_1=k\tau_2,a_0=k\tau_3$ 和 $b_3=1,b_2=k\tau_1,b_1=k\tau_2,b_0=k\tau_3$ 代入表 4.1 的 3 阶公式，再整理成工程上更好读的形式。

三种输入的稳态相差 $$ \theta_i(t)=\theta_0u(t)\Rightarrow \hat\theta_{e,\infty}=0 \tag{4.134} $$ $$ \theta_i(t)=\Delta\omega t\,u(t)\Rightarrow \hat\theta_{e,\infty}=0 \tag{4.135} $$ $$ \theta_i(t)=\frac{1}{2}\alpha t^2\Rightarrow \hat\theta_{e,\infty}=0 \tag{4.136} $$ $$ k\tau_1>0,\quad k\tau_2>0,\quad k\tau_3>0,\quad k\tau_1\cdot k\tau_2>k\tau_3 \tag{4.137} $$

3 阶误差函数带有 $s^3$，因此三类输入都能无偏跟踪；但与此同时，闭环特征多项式已经升到三阶，稳定性不再自动满足，必须额外检查劳斯判据。

N 阶闭环和误差函数 $$ H(s)=\frac{a_0s^{N-1}+a_1s^{N-2}+\cdots+a_{N-1}}{s^N+a_0s^{N-1}+a_1s^{N-2}+\cdots+a_{N-1}} \tag{4.138} $$ $$ E(s)=\frac{s^N}{s^N+a_0s^{N-1}+a_1s^{N-2}+\cdots+a_{N-1}} \tag{4.139} $$

动态应力稳态相差 $$ \omega_n=(a_{N-1})^{1/N} $$ $$ \hat\theta_{e,\infty}=\lim_{s\to0}sE(s)\theta_i(s) =\lim_{s\to0} \frac{s^{N+1}\theta_i(s)}{s^N+a_0s^{N-1}+a_1s^{N-2}+\cdots+a_{N-1}} =\lim_{t\to\infty}\frac{d^N\theta_i(t)/dt^N}{\omega_n^N} \tag{4.140} $$

只要输入相位的第 $N$ 阶导数在稳态不是 0，N 阶环就会留下与 $\omega_n^{-N}$ 成正比的稳态误差；若动态阶次更高，误差会发散。

式 $(4.140)$ 的关键就在于：当 $s\to0$ 时，分母只剩常数项 $a_{N-1}=\omega_n^N$。因此自然频率越高，动态误差越小；但因为 $B_n$ 也随 $\omega_n$ 增长，热噪声会一起变大。